Z-test
(=Normaltest = Normal deviate test)
Denna sida är uppdaterad 2003-01-09

Varje signifikansanalys som använder den standardiserade normalfördelade variabeln som testfunktion kallas z-test.

Testfunktion
I princip alla statistiska test för signifikansanalys använder en testfunktion som resulterar i ett tal. Talet jämförs sedan i en tabell med hur det brukar vara i en viss fördelning, och detta omvandlas till ett p-värde. De vanligaste testfunktionerna är:

Oftast ser testfunktionen ut enligt följande:

Eftersom det är vanligt att det hypotetiska värdet är noll blir testfunktionen ofta det observerade värdet dividerat med värdets medelfel. (Vid z-test är testfunktionen alltid så här men det finns andra test där testfunktionen inte är som beskrivet ovan.)

Varje signifikanstest som utnyttjar den standardiserade normalfördelade variabeln z som testfunktion kan kallas z-test. Det finns alltså olika varianter av z-test beroende på om signifikansanalysen jämför en grupp mot ett fast värde eller jämför två grupper med varandra. Vidare finns z-test för normalfördelade kvantitativa variabler och för variabler som är andelar (proportioner).

Z-test för kvantitativa variabler
Z-testet kan användas om variabeln är kvantitativ och normalfördelad. Vid små stickprov ger t-test i regel ett säkrare resultat än z-test. Vid ökande stickprovsstorlek ger t-test och z-test liknande resultat. Om variabeln inte är normalfördelad kan t-test inte användas. Däremot kan z-testet användas vid snedfördelade variabler förutsatt att stickprovet är tillräckligt stort (Ejlertsson, 1992). Hur stort som stickprov som krävs beror på hur sned fördelningen är. Om snedfördelningen är liten kan det räcka med n>30, vid kraftig sned fördelning kan det krävas stickprov flera hundra (Ejlertsson, 1992, sid 132).

Z-test för en grupp som jämförs mot ett fixt värde
Jämförelse mellan medelvärdet i en grupp och ett fast förväntat värde kan vara av intresse om man vill veta om ett stickprov man har samlat in skiljer sig från det som kan anses normalt för den här populationen. Här anser man att "det som är normalt" är fastställt i tidigare större undersökningar och det betraktas då som ett fast värde. Om dessa tidigare undersökningar är små kan det riktas kritik mot en sådan här analys eftersom "det som är normalt" kanske bara är en osäker gissning.
    Principen är att man dividerar skillnaden mellan gruppens medelvärde (x) och ett fast värde (μ) med medelfelet för gruppen.
    En speciell situation av att jämföra mot ett fast värde är om man vill se om en grupp har förändrats. Man räknar då ut förändringen för varje individ och förändringarnas medelvärde blir då x. Nollhypotesen är att ingen förändring har skett och μ blir då 0.

När man räknat fram värdet på Z går man in i en tabell över normalfördelningen och ser vilket p-värde som Z motsvarar.

Z-test för två matchade grupper som jämförs med varandra
Vid matchning paras individerna ihop parvis. Man jämför sedan individerna parvis och räknar fram en skillnad mellan de ingående individerna i paret. varje par får då ett mätvärde som kan vara positivt, noll eller negativt. Skillnadernas (differensernas) medelvärde blir då d. Nollhypotesen är att ingen förändring har skett och d jämförs alltså med 0. Som du ser liknar detta exemplet ovan när man vill titta på förändring i en enda grupp.

Vilket kan skrivas som

När man räknat fram värdet på Z går man in i en tabell över normalfördelningen och ser vilket p-värde som Z motsvarar.

Z-test för två omatchade grupper som jämförs med varandra
Medelvärdet i den ena gruppen (x₁) minus medelvärdet i den andra gruppen (x₂) divideras med gruppernas gemensamma medelfel.

När man räknat fram värdet på Z går man in i en tabell över normalfördelningen och ser vilket p-värde som Z motsvarar.

Z-test för proportioner (andelar)
Normalt används binomialfördelningen vid proportioner och då kan inte z-test användas utan istället bör chi-square användas. Under vissa (i och för sig ganska vanliga) omständigheter kan normalfördelningen användas som en approximation till binomialfördelningen och då kan z-testet användas. Z-testet kan inte användas vid andra nominaldata än dikotoma data, exempelvis blodgrupper.

Normalapproximering av binomialfördelningen
Det anses rimligt att anta att materialet är normalfördelat i en grupp om proportionen P (=sannolikheten) av patienter med egenskapen (t.ex. närvaro av sjukdom) och 1-P båda överstiger 5/n där n är antalet patienter i gruppen. Ju mer P närmar sig 50% desto färre patienter krävs för att materialet skall kunna betraktas som normalfördelat. Om P = 50% räcker 10 patienter. Om P är 10 eller 90% krävs det 50 patienter i gruppen. Om P ligger utanför 10-90% krävs >50 patienter.

Z-test för en proportion (grupp) som jämförs mot ett fixt värde
Jämförelse mellan proportionen (andelen) i en grupp och ett fast förväntat värde kan vara av intresse om man vill veta om ett stickprov man har samlat in skiljer sig från det som kan anses normalt för den här populationen. Här anser man att "det som är normalt" är fastställt i tidigare större undersökningar och det betraktas då som ett fast värde. Om dessa tidigare undersökningar är små kan det riktas kritik mot en sådan här analys eftersom "det som är normalt" kanske bara är en osäker gissning.
    Proportionen (andelen) betecknas p och det fasta värde som jämförs med betecknas π.

När man räknat fram värdet på Z går man in i en tabell över normalfördelningen och ser vilket p-värde som Z motsvarar.

Z-test för två matchade proportioner (grupper) som jämförs med varandra
Här kan Z-testet inte användas utan man får använda Teckentest (eller Mc Nemar´s test).

Z-test för två omatchade proportioner (grupper) som jämförs med varandra
Proportionen (andelen) i den ena gruppen (p₁) minus proportionen i den andra gruppen (p₂) divideras med gruppernas gemensamma medelfel.

När man räknat fram värdet på Z går man in i en tabell över normalfördelningen och ser vilket p-värde som Z motsvarar.

Referenser

Ejlertsson G. Grundläggande statistik med tillämpningar inom sjukvården. Lund: Studentlitteratur; 1992.

Denna webbsida är författad av
Doc. Ronny Gunnarsson
Distriktsläkare/Familjeläkare

Läs om regler för ansvar och copyright som gäller för denna webbsida.